호 (기하학)

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1. 개요
2. 정의
3. 원호
참조

1. 개요

호는 기하학에서 원둘레 또는 곡선 위의 두 점에 의해 한정된 부분을 의미한다. 위상 공간론에서는 닫힌 구간에서 위상 공간으로의 연속 사상 또는 그 상을 지칭하며, 호상 연결의 개념에서 '길'이라고도 불린다. 원 위의 두 점은 원둘레를 두 개의 호로 나누며, 짧은 호를 열호, 긴 호를 우호라고 한다. 원호의 길이는 반지름과 중심각에 의해 결정되며, 라디안과 육십분법을 사용하여 계산할 수 있다. 현실 세계에서는 지구의 대권의 일부가 대권 코스로서 호의 예시로 사용된다.

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초등 기하학 - 대원
구면기하학에서 대원은 구의 중심을 지나는 평면과 구의 교선으로, 유클리드 공간의 직선에 대응하며, 서로 대극점이 아닌 두 점을 잇는 최단 거리인 대원 거리를 정의하고, 자오선이나 적도처럼 항해, 천문학 등 다양한 분야에서 응용된다.
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현은 원 둘레를 두 호로 나누는 선분으로, 원에 내접하는 정다각형의 변이 될 수 있으며, 원의 중심을 지나는 가장 긴 현은 지름이라고 한다.

호 (기하학)
기하학적 정의
정의	곡선 위에 있는 두 점과 그 두 점 사이의 곡선 부분으로 이루어진 도형
다른 정의	원둘레의 일부분
활꼴	호와 현으로 둘러싸인 도형
호의 길이
중심각	반지름 r, 중심각 θ (라디안)일 때, 호의 길이 s = rθ
원의 호
정의	원둘레의 일부분. 두 점 사이의 곡선 거리로 측정됨
기호	⌒
측정 단위	길이 단위 (예: m, cm, mm)
공식	반지름 r, 중심각 θ (도)일 때, 호의 길이 L = (θ/360) * 2πr 반지름 r, 중심각 θ (라디안)일 때, 호의 길이 L = rθ
응용
예시	다리 건설, 파이프라인 설계 등
호의 종류
장호 (긴 호)	원의 중심을 포함하는 호
단호 (짧은 호)	원의 중심을 포함하지 않는 호
반원호	원의 중심을 지나는 지름에 의해 나누어진 호

2. 정의

호(arc)는 기하학 및 도형에서 원둘레 또는 기타 곡선 위의 두 점에 의하여 한정된 부분을 가리킨다.^[1]

위상 공간론에서 '''호'''란 닫힌 구간 [''a'', ''b'']에서 위상 공간 ''X''로의 연속 사상 γ 또는 그 상을 말한다.^[1] 호상 연결의 개념을 정의할 때 나타나며, 이 문맥에서는 '''길'''(path)이라고 불리기도 한다.

정의에서 닫힌 구간을 단위 구간 [0, 1]로 제한하는 경우도 있지만, 두 정의는 동일하다는 것을 바로 알 수 있다. ''X''로 3차원 유클리드 공간 '''R'''³을 취하면, 이 경우의 호는 공간 곡선의 연결된 일부분이며, 일상적인 단어의 의미와 가까워진다. 또한, γ로 전단사임을 요구하는 경우가 많으며, 이 경우의 호는 "자기 교차를 가지지 않고, 닫혀있지도 않으며, 시점과 종점을 가진 곡선"이다.^[1]

현실 세계의 구체적인 예로, 지구의 대권 (또는 Great ellipse|대타원^영어)의 일부는 대권 코스라고 불린다.^[1]

3. 원호

원 위에 두 점이 있으면, 이 두 점은 원둘레를 두 개의 호로 나눈다. 이때 나누어진 호를 원호라고 한다.

반지름 $r$ 인 원에서 중심각이 $\theta$ (라디안)인 호의 길이는 $r \theta$ 이다. 전단사 연속 사상 γ : [0, 1] → '''R'''² 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\gamma(t)=(r\cos (\alpha (1-t)+\beta t),\,r\sin (\alpha (1-t)+\beta t))\,$

여기서 ''r'' (''r'' > 0)는 원의 반지름, α, β (α < β)는 시작점 및 종점의 편각이며, 중심각은 β - α가 된다.

3. 1. 열호와 우호

원 위에 두 점이 있을 때, 이 두 점은 원둘레를 두 개의 호로 나눈다. 두 점을 잇는 선분이 원의 지름이 아니면 두 원호의 길이는 서로 다르다. 이때 짧은 호를 열호(劣弧)라고 하며, 긴 호를 우호(優弧)라고 한다.

중심이

O

인 원 위에 두 개의 점

A, B

가 주어져 있을 때, 짧은 호는 호

\overset\frown{AB}

로 나타내며, 긴 호는 긴 호 위에 점

C

를 잡아 호

ACB

로 나타낸다.

3. 2. 표기법

중심이

O

인 원 위에 두 점

A, B

가 있을 때, 짧은 호는

\overset\frown{AB}

로 나타낸다. 긴 호는 긴 호 위에 점

C

를 잡아

ACB

로 나타낸다.

3. 3. 원호의 길이

원 위에 두 점이 있으면, 이 두 점은 원둘레를 두 개의 원호로 나눈다. 두 점을 잇는 선분이 원의 지름이 아니면 두 원호의 길이는 서로 다르다. 이때 짧은 호를 열호(劣弧), 긴 호를 우호(優弧)라고 한다.

중심이

O

인 원 위에 두 점

A, B

가 있을 때, 짧은 호는 호

\overset\frown{AB}

로 나타내고, 긴 호는 그 위에 점

C

를 잡아 호

ACB

로 나타낸다.

원호의 길이는 반지름과 중심각을 통해 구할 수 있다. 자세한 내용은 하위 문단인 '라디안과 육십분법' 문단을 참고하라.

3. 3. 1. 라디안과 육십분법

반지름

r

인 원에서 중심각

\theta

(라디안)인 호의 길이는

r \theta

이다. 원호의 길이를

\mathit{l}

, 원둘레(circumference) 길이를

C

라 하면

:

\frac{\mathit{l}}{C} = \frac{\theta}{2 \pi}\!

이고,

\mathrm{C}=2 \pi r\!

이므로

:

\frac{\mathit{l}}{2 \pi r} = \frac{\theta}{2 \pi}\!

:

\therefore\ \mathit{l} = r \theta\!

이다. 중심각이

\theta

°로 주어졌다면

:

\frac{\mathit{l}}{2 \pi r} = \frac{\theta}{360}\!

이므로

:

\mathit{l} = \frac{\pi}{180} \theta\!

이다.

반지름 ''r'', 중심각 θ의 원호의 길이 ''L''은

:

L=r\theta\,

로 주어진다. 단, 각의 크기는 호도법으로 주어져 있다고 한다. 육십분법에 의해, α도로 주어져 있다면, θ와 α는

:

\theta=\frac{\alpha}{180}\pi

의 관계에 있으므로,

:

L=\frac{\pi r\alpha}{180}

가 된다.

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